——{1，2，3，…，n，…}不一定是正整数集N
黄小宁
（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]当无穷集A的各元x全都有对应数x=y时，若A内有x再与A外数相对应那就是“一对二”的重复对应了。——据此集合常识发现稍有一点头脑的初中生也一教就明的非常直观的推翻百年集论的表达式。从而极其简单明了地证明从西方传进来的中学数学有使著名的康脱脱离健康误入歧途的重大错误：将一部分误为全部。因此，凡合格的中学数学教师都能对本文的正确与否作出正确的判断。
关键词 重大中学数学错误；推翻百年集论；N内暗含有无穷大自然数n>M；搞错函数的定义域；分形几何
一、不能“见到胡子就喊爹”——中学数学搞错了y=2n等的定义域
研究2无穷集是否分别包含同样多（个）元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个C所没有的数a——不论C是否无穷集。两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。
P＝｛0，1，2｝
Q =｛0，1，2｝∪｛3｝由两部分组成，显然其第2部分｛3｝有多少个元，Q就比P～P多多少个元。
关键是对上、下两集的各数从左到右依次一一对应成双配对起来，立刻就能看出哪一集比哪一集多或少了多少个数；因为非常直观：下集的第1部分的各数的头上都有一个对应数且所有对应数组成的集是P，而其第2部分的各数的头上都无数∈上集P。康脱就断定无理数比自然数多；…。同样——
奇数集A={1，3，5，…，2n-1，... }
偶数集B={2，4，6，…，2n，... }（ B的各元２n的对应数n的全体组成集合C）
B～C={1，2，3，…，n，…}
显然A～B～C。问题是N=A∪B ～A吗？N=C吗？注，N有两类数：一类是2n，一类是2n-1;而A只有一类数。
A＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝
N=A∪B＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝∪｛2，4，6，…，2n，…｝，显然N的第2部分B有多少个元，N就比A～A多多少个元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式——非常直观地表达：下集N的第1部分的各数2n-1的头上都有一个对应数2n-1∈上集A，而其第2部分的各数2n的头上都无数∈上集A，即根本不可有下集N的各数2n、2n-1都有对应数2n-1∈上集A。否则就是“二对一”的重复对应了。
关键是当上A的各数2n-1都有对应数2n-1∈下A——N的第1部分时，若上A内有数再与N的第2部分B的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。在不许重复对应的限制下下集N的第2部分B的各数2n的头上都无对应数∈上集A。
同样B～A也根本不可～N！注！本文的非空集都由两部分组成，上集的第1部分必～相应的下集的第1部分。
B～C=｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝（C的第2部分是空集）
在N=B∪A=｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝中，第2部分A有多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元，使C只能是N的一部分而非N——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式——一目了然地表达下集N的第1部分的各数2n的头上都有一个对应数n且所有对应数组成上集C，而其第2部分的各数2n-1的头上都无对应数∈上集C， 即C的各数n远不可与N的各数2n、2n-1一一对应。
关键是C的各数n均有对应数2n∈B时，C中无一数n能与A的数2n-1相对应，否则就是“一对二”的重复对应。
形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
可见仅凭C={1，2，3，…，n，…}就断定其=N，是犯了“见到胡子就喊爹”的错误。殊不知“无穷大”也是无限可分的，也是有无穷多层次的。
故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
所以中学数学断定y=2n>n= 1，2，3，…，…（y∈N）的定义域＝N是使康脱脱离健康误入歧途的重大错误。而且，①说不等式中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y > N的一切数——重大病句！②式中y可>右边数列的一切数，表明数列不可包含N的一切n。
不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
二、极浅显数学常识凸显中学的“C=N”是使康脱误入百年歧途的重大错误
将N的所有偶数都配上序号，各个2n由小到大分别称为1号数、2号数、3号数，…，n号数，…，所有序号（数）组成C。显然，没有与B的任何元2n相配号的C外无穷大自然数n>C的一切n才能与N的奇数2n-1配上序号——极浅显数学常识凸显C远远不可包含N的所有n。
三、50字证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大区别使N内整数比偶数多一倍
看！以上排成3行数的A、B、C中的C的各元n的头上都有两对应数2n、2n-1且所有对应数组成的集是N——50个字符充分证明了推翻百年集论的：
SH定理：N的元比C的元多一倍，使C～B与B～A一样是N的真子集;因B～A故N内奇、偶数各占一半。
四、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数
在N内取值的n→∞的含义是：n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。这类数n>M显然是“更无理”数。
“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…
“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”
“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。
无穷集U =[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。
关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内一切数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。
正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。
以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。
五、“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康
所以被誉为“人类的最伟大的创造之一”（胡作玄，引起纷争的金苹果，福建教育出版社，1993.12：27）的康脱集论其实是脱离健康的极荒唐病态理论。这是数学的致命病毒。将此核心错误奉为数学引以为豪的基础，使其占统治地位百年之久，必使人滚雪球似地“滚”出越来越大、无穷变大的一连串更重大的错误。这使美国著名数学史家M·克莱因清醒地意识到：“这个世纪以来，数学从科学中的分离不断加速，[3]”百年康脱集论使数学急速脱离健康发展轨道地远离科学。致命病毒的入侵使数学有违反科学常识的理论啊！真正的数学必然是科学。
可见，被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
详论见获中国教育学会一等奖的文献[4]。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:46.
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[3]M·克莱因著、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙市：湖南科技出版社，1999.4:311
[4]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[5]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[6]黄小宁 再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社：2002.6:21。
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