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巴霍姆之死

发布者:博韬教育——数学教研组 日期:2011/11/13 点击次:718
19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗?》这本小册子中叙述了这样一个故事。

  巴霍姆到草原去购买土地。卖地的酋长出了一个奇怪的地价:谁出1000卢布,谁就可以得到土地,只要他在日出时从规定的地点出发,在日落前返回原出发地,那么他所走过的线路圈起的土地就全部归属于他。但是,如果他在太阳落山前赶不回原出发地,那么走得再多也得不到半点土地,同时那1000卢布也就算白花了。                
芜湖  博韬教育

  巴霍姆觉得这个条件对自己有利,于是就付了1000卢市,接受了这笔买卖。他决心拿出吃奶的劲,跑出最远的路,获得尽可能多的土地。

  第二天,太阳刚刚从地平线升起.巴霍姆就赶忙在草原上大踏步向前走去。他走啊,走啊,走了足足有10公里,这才朝左拐弯;接着又走了很久,才再向左拐弯;然后他又走了2公里,这时,他看到天色不早,也早已累得不行了,可是离清晨出发的地方还足有15公里,于是不得不马上改变方向,径直朝出发地点拼命跑去。最后,巴霍姆总算在日落之前赶回了原地,但他却丝毫未能捞到便宜。因为他劳累过度,待到出发地点,还未站稳,就两腿一软。口吐鲜血死了。

  托尔斯泰写这个故事,是为了讽刺有些人要财不要命的贪婪本性。

  但是,我们读这个故事时,不仅会对巴霍姆因贪心丢了自己的命而感叹万分,同时,我们还会发现,他如果多具备一些数学知识,本来是可以少跑些路却多围一些土地的。

  实际上,在这一天中,巴霍姆走过的路线如图1所示,是一个梯形,他所走过的路程,是这个梯形的周长。从图1中可以看出,梯形ABCD的周长是:

 

图1

                  AB+BC+CD+DA。

  由已知,AB=10公里,CD=2公里,DA=15公里。

  在Rt三角形ADE中,根据勾股定理,可求得直角边DE的长是:

 

  由于BC=DE,因此巴霍姆一共走了

                 10+12.7+2.15=39.7(公里)

  而梯形ABCD的面积是:

  我们可以知道,在平面上周长相等的n边形中,正n边形所围的面积最大。比如,若四边形ABCD不是一梯形而是一个正方形,那么当边长是9公里时,其面积可达81平方公里,而这时它的周长只有36公里。也就是说,巴霍姆如果走过的线路可以围成一个正方形,那么他起码可以少走3.7公里,但是多围出48平方公里的土地。                  芜湖  博韬教育

  实际上,在平面上一切等周长的封闭图形中,圆所围成面积最大。

  因此,如果巴霍姆走的线路是一个以5公里为半径的圆,那么,这个圆所围的面积是78.5平方公里,而这个圆的周长只有31.4公里。也就是说,他少走83公里所围出的地却比他原来围的地多出2.3平方公里。

  如果巴霍姆走的线路是一个以6公里为半径的圆,那么,这个圆的周长是37.7公里,面积是113.0平方公里。即巴霍姆可以少走2公里的路,但多得到36.8平方公里的士地。

  巴霍姆如果多懂些数学知识,少一些贪婪,也许他能幸免一死吧?

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